W.Leibniz (1646-1716) nacque a Lipsia e si laureò, ventenne, in giurisprudenza a Norimberga. Si dedicò alle scienze e alla filosofia, frequentò le maggiori sedi universitarie europee e fu direttore dell' Accademia Prussiana delle Scienze. Il suo contributo alla storia del calcolo è fondamentale in quanto a lui si deve la scoperta del sistema di numerazione binario su cui si basa il funzionamento di tutti i computer moderni. Egli dimostrò che con il sistema binario l' esecuzione della moltiplicazione avviene attraverso l' addizione e, nel 1683, concepì una macchina moltiplicatrice basata su questo principio.

Il funzionamento consisteva nell'addizionare il moltiplicando tante volte quante sono le cifre del moltiplicatore con scatti di un carrello verso sinistra ad ogni cifra di quest' ultimo. Egli non riuscì a costruire un modello funzionante della sua macchina che venne realizzata solo nel 1920

IL SISTEMA BINARIO

Per comprendere il funzionamento della macchina di Leibniz, ma anche di tutte le calcolatrici e computer moderni, è necessario capire la rappresentazione dei numeri nel sistema binario (in base 2):

Noi, naturalmente, usiamo il sistema decimale (base 10) nel quale ogni cifra di un numero assume un valore a seconda della posizione occupata all' interno del numero stesso (valore posizionale).

Così ad esempio nel numero 235 ci sono 2 centinaia 3 decine e 5 unità,
che è come dire 2 x 100 + 3 x 10 + 5 x 1

ed anche 

Nel sistema binario, invece di utilizzare le potenze del 10, si utilizzano quelle del 2.

In questo modo nel numero 1011 ci sono 1 ottetto, 0 quartine, 1 doppietto e 1 unità

che è come si vede:  1 x 8  +   0 x 4  +  1 x 2   + 1 x 1

ed anche: 

E' possibile costruire delle semplici macchine che permettono di trasformare numeri dalla base 10 alla base 2 e viceversa. Ecco la prima e più semplice la MANO-CODIFICATRICE

	Sulle dita della mano, partendo dal mignolo, scriviamo i numeri corrispondenti alle potenze del 2. Cioè; 1, 2, 4, 8, 16
CODIFICA = da base 10 a base 2 DECODIFICA = da base 2 a base 10		Si voglia trasformare (codificare) il numero 17 in base 2. vediamo che il 17 si ottiene dalla somma del pollice (16) e del mignolo(1). avremo quindi partendo dal pollice: 10001 che è il numero binario cercato	Se al contrario vogliamo sapere a che numero decimale corrisponde 10101 basta che sommiamo i numeri scritti sul pollice, sul medio e sul mignolo. Otterremo 21. Questa oerazione si chiama decodifica.

LA MACCHINA A DISCHI ROTANTI

Per  costruirla sevono: cartoncino matita pennarelli forbici bottoni automatici

Con questa macchina è possibile codificare un numero (da base 10 a base 2) e decodificarlo (da base 2 a base 10). Il suo funzionamento si basa sulla rotazione di dischi che hanno 4 fori, due aperti per poter leggere ciò che c'è scritto sulla basetta sottostante e due chiusi che recano il numero 0 (zero). Per CODIFICARE UN NUMERO bisogna comporlo sommando in alto le cifre delle potenze del due: sotto si leggerà automaticamente il numero binario Per DECODIFICARE un numero binario lo si compone nella parte in basso e si sommano i numeri della parte in alto, ottenendo l' equivalente in base 10.

Prova con questi due esempi:

	Proviamo a CODIFICARE il numero 27: Ruotiamo i dischi finchè nelle finestre superiori non si ottiene la combinazione dei numeri che sommati danno 27. Nelle finestre inferiori si legge il risultato
	Adesso proviamo a decodificare il numero 10111: Impostiamo il numero binario nelle finestre inferiori e poi eseguiamo la somma dei numeri nelle finestre in alto. 10111(due) = 16+4+2+1 = 23

Ma visto che la cosa è più facile a farsi che a dirsi ti propongo di costruire la macchina scaricando il progetto completo: fai clik sull' icona qui a sinistra per portarlo sul tuo computer.

Se poi hai molta fretta di vedere come funziona questa macchina, eccoti accontentato. Qui sotto trovi una simulazione funzionante: Buon divertimento!

fai clik sulle caselline centrali; otterrai in alto il numero decimale,  in basso quello binario e viceversa.

LE SCHRDE PERFORATE

Si possono costruire schede perforate che rappresentano i numeri delle due basi in modo da eseguire codifiche e decodifiche.

I fori sono gli 0 (zero) mentre i tagli sono degli 1 (uno)

Ecco alcuni giochi possibili:

RIORDINO DELLE SCHEDE
Riferendoci a quelle disegnate qui sopra ci proponiamo di metterle in ordine numerico dopo averle rimescolate per bene. Si procede così:

• Si riassetta il mazzo in modo che le schede siano sovrapposte con i fori in corrispondenza.
• Si infila un bastoncino nel primo foro, quello delle unità, e si estrae: metà delle schede resterà appesa al bastoncino.
• Si pone il mazzo estratto davanti all' altro e si riassetta di nuovo.
• Si infila il bastoncino nel secondo foro e si  ripete la procedura.
• Si continua così fino all'ultimo foro e... sorpresa! Le schede risulteranno ordinate dallo 0 al 31.

RICERCA DI UN NUMERO
Vogliamo estrarre dal mazzo la scheda che reca un determinato numero (non serve che le schede siano ordinate numericamente). Si pprocede così:

• Si infilano nel mazzo tanti bastoncini in corrispondenza degli UNO del numero binario cercato.
• Si solleva e si scarta il mazzo estratto.
• Usando un solo bastoncino lo si infila successivamente in corrispondenza degli ZERO del numero binario che si vuole estrarre.
• in questa operazione si tengono i mazzetti estratti e si scartano le schede che restano in mano.
• giunti all' ultimo zero del numero cercato rimarrà appesa al bastoncino solo la sua scheda

LA MACCHINA ELETTRICA

Se hai una certa dimestichezza con fili elettrici, pulsanti e lampadine puoi costruire la macchina descritta nel disegno qui sotto che, come le precedenti, esegue la codifica e la decodifica di numeri:

CODIFICA CON DIVISIONI SUCCESSIVE

Serve nella codifica (vale per tutte le basi) e consiste nel dividere il numero di base 10 per il avlore della base, più volte annotando i resti delle varie divisioni:

Esempio: codificare il numero 26

26 : 2 = 13 (R 0) : 2 = 6 (R 1) : 2 = 3 (R 0) : 2 = 1 (R 1) : 2 = 0 (R 1) 

La successione dei resti, presi da destra verso sinistra, ci fornisce la codifica:

26 (dieci) = 11010(due)